`CONJUNTOS NUMERICOS

Conjuntos Numéricos dentro de los Números Reales 

1. Concepto de Conjuntos Numéricos

Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números con características comunes que permiten su clasificación dentro del sistema matemático. Estos conjuntos se construyen de manera jerárquica, desde los números naturales hasta los reales, y son esenciales en el estudio de las matemáticas.

2. Tipos de Conjuntos Numéricos dentro de los Números Reales 

Los números reales (ℝ) comprenden distintos subconjuntos: 

1. Números Naturales (ℕ)

• Definición: Números enteros positivos: ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...}. Algunos incluyen el 0 ℕ₀= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...}

• • Letra: ℕ

  • Origen de la Letra ℕ: Proviene de la palabra "Números Naturales" en alemán (Natürliche Zahlen)

• Propiedades clave:

  • Son la base para contar y ordenar en la vida cotidiana.

  • Cerrados bajo suma y multiplicación (ej: 3 + 5 = 8 ∈ ℕ).

  • No cerrados bajo resta o división (ej: 3 − 5 ∉ ℕ).

• Aplicaciones: Conteo, secuencias, teoría de números (primos, factoriales).

• Por extensión:

• ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...}

• (Algunos incluyen el 0: ℕ₀ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...}.

• Por comprensión:

• ℕ = {$x$|x es un entero positivo}.

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2. Números Enteros (ℤ)

• Definición: Incluye naturales, sus negativos y el cero: ℤ = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.

• Letra: ℤ

• Origen de la Letra ℤ: Viene del alemán "Zahlen", que significa "números".

• Propiedades clave:

  • Cerrados bajo suma, resta y multiplicación.

  • No cerrados división (ej: 7/5 ∉ ℕ).

  • Introducen el concepto de valor absoluto y números opuestos.

  • Permiten resolver ecuaciones como $x+5=0$.

• Aplicaciones: Deudas, temperaturas bajo cero, coordenadas en una recta.

• Por extensión:

• ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.

• Por comprensión:

• ℤ = {$x$|x es un número entero (positivo, negativo o cero)}

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3. Números Racionales (ℚ)

• Definición: Fracciones $\frac{a}{b}$, donde $a,b\in \mathrm{Z}$ y $b\mathrm{\ne }0$.

• Letra: ℚ

• Origen de la Letra ℚ: Proviene de la palabra "Cociente" (en inglés, Quotient), ya que los números racionales se expresan como cocientes de enteros.

• Propiedades clave:

  • Cerrados bajo todas las operaciones básicas (excepto división por cero).

  • Decimales finitos o infinitos periódicos (ej: $0.5=\frac{1}{2}$; $0.\bar{3}=\frac{1}{3}$).

  • Densos: Entre dos racionales siempre hay otro racional.

• Aplicaciones: Medidas exactas, proporciones, porcentajes.

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4. Números Irracionales (𝕀)

• Definición: Números que no pueden expresarse como fracción (ej: $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$).

• • Letra: 𝕀

  • Origen de la Letra 𝕀: No hay un consenso universal, pero se usa 𝕀 para representar "Irracionales".

• Propiedades clave:

  • Decimales infinitos y no periódicos.

  • Surgen de raíces no exactas, constantes matemáticas, etc.

  • No son cerrados bajo operaciones básicas (ej: $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2\in \mathrm{Q}$).

• Aplicaciones: Geometría (diagonales), física (constantes universales).

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5. Números Reales (ℝ)

• Definición: Unión de racionales e irracionales: ℝ = ℚ ∪ 𝕀.

• Letra: ℝ

• Origen de la Letra ℝ: Proviene de la palabra "Reales" en inglés (Real Numbers).

• Propiedades clave:

  • Completos: Llenan la recta numérica sin "huecos".

  • Base del cálculo (límites, continuidad).

  • No cerrados bajo raíces negativas (ej: $\sqrt{-1}\mathrm{\notin }\mathrm{R}$).

• Aplicaciones: Mediciones continuas (longitud, tiempo), funciones reales.

¿Por qué estas letras?

• Estandarización: Facilitan la comunicación global en matemáticas.

• Historia: Muchas provienen del alemán, ya que Alemania fue un centro importante de desarrollo matemático en los siglos XIX y XX.

• Claridad: Ayudan a distinguir rápidamente entre conjuntos en ecuaciones y textos.

Glosario de Conjuntos Numéricos

• Conjunto Numérico: Agrupación de números con propiedades similares que permite su clasificación en diferentes categorías dentro del sistema matemático.
• Números Naturales (ℕ): Conjunto de números usados para contar, en algunas definiciones, incluye el 0.
• Números Enteros (ℤ): Conjunto que agrupa los números naturales, el cero y sus opuestos negativos.
• Números Racionales (ℚ): Números que pueden expresarse como fracción de dos enteros, donde el denominador es distinto de cero.
• Números Irracionales: Números que no pueden expresarse como fracción exacta y tienen una expansión decimal infinita y no periódica.
• Números Reales (ℝ): Conjunto que incluye a los números racionales e irracionales, representando todos los valores de la línea numérica.
• Fracción: Expresión matemática que representa una parte de un todo, escrita en la forma 
  $\frac{a}{\mathrm{b<span\; style="text-align:\; left;">.</span>}}$
• Decimal Periódico: Número decimal cuya parte decimal se repite indefinidamente (Ej: 0.3333...)
• Decimal Exacto: Número decimal que tiene un número finito de cifras decimales (Ej: 0.75)
• Número Primo: Número natural mayor que 1 que solo tiene dos divisores: 1 y él mismo (Ej: 2, 3, 5, 7, 11).
• Número Compuesto: Número natural que tiene más de dos divisores (Ej: 4, 6, 8, 9).
• Recta Numérica: Representación gráfica de los números reales sobre una recta donde cada punto corresponde a un número único.
• Diagrama de Venn: Gráfico que muestra las relaciones entre distintos conjuntos mediante círculos superpuestos.
• Raíz Cuadrada: Número que, al multiplicarse por sí mismo, da como resultado un número determinado (Ej: 3=)

• Pi (π): Número irracional aproximadamente igual a 3.1416, que representa la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo.
• Infinito (∞): Símbolo que representa un valor sin límite o una cantidad ilimitada de elementos en un conjunto.